Дистанційне навчання. Гр.№ 18.

Урок алгебри для гр. № 18.

Тема: Застосування інтеграла до обчислення площ плоских фігур. Розв’язування вправ.

Мета: формувати в учнів вміння застосовувати інтеграл до знаходження площ плоских фігур.

Хід уроку.

Опрацюйте даний матеріал та зробіть конспект у зошиті.

Згадаємо, що:

Домашнє завдання.

Істер О. «Математика» - підручник для 11 кл. закладів загальної середньої освіти—К. : Генеза, 2019р.

1)    Теоретичний матеріал: §12—стор. 109.

2)    Виконати вправи: № 12.1; 12.6(2,3); 12.7(2)—стор. 113.

3)    Виконати онлайн тест: https://naurok.com.ua/test/obchislennya-plosch-ploskih-figur-za-dopomogoyu-integrala-299046.html

4)    Розв’язки надсилати на електронну пошту: riabovagena@gmail.com

Дистанційне навчання. Гр.№ 1, 26.

Урок алгебри для гр. № 26.

Тема:  Знаходження найбільшого і найменшого значення функції на                відрізку.

Мета: сформувати поняття найбільшого та найменшого значень функції на відрізку; засвоїти алгоритм знаходження найбільшого та найменшого значень функції на відрізку; сформувати вміння знаходити найбільше та найменше значення функції на відрізку.

Хід уроку.

І. Усвідомлення нового матеріалу.

Опрацювати матеріал даного уроку та зробити конспект у зошиті.

У курсі математичного аналізу доводиться теорема Вейєрштрасса: неперервна на відрізку [a;b] функція має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.

Цю теорему слід розуміти так, що для неперервної на [a;b] функції існують точки відрізка [a;b] у яких  f(x)  набуває найбільшого та найменшого на [a;b] значення. Якщо функція у= = f(x) неперервна на відрізку [а;b] і має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значення на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Виходячи з наведеного, можна запропонувати наступну схему знаходження найбільшого і найменшого значення функції у = f(x) на проміжку [a;b].

Схема знаходження найбільшого і найменшого значення функції:

1) Перевіряємо чи входить заданий проміжок в область визначення функції.

2) Знаходимо похідну f '(x).

3) Знаходимо критичні точки (внутрішні точки області визначення f(x), в яких f '(x) не існує та розв’язати рівняння f '(x) = 0.

4) Вибираємо критичні точки, що належать проміжку [a;b].

5) Обчислюємо значення функції в вибраних критичних точках та в точках
а і b (кінцях відрізка).

6) Порівнюємо одержані значення та знаходимо найбільше та найменше значення функції у = f(x) на проміжку [a;b].

7) Відповідь.

Приклад. Знайдіть найбільше та найменше значення функції 

  на проміжку [0;3].

Розв’язання.

1) D(f) = R, розглядуваний проміжок належить області визначення.

3) Похідна існує в усіх точках; розв’язати рівняння х² + х - 2 = 0, тобто :

х₁ = 1; х₂ = -2 - критичні точки.

6) Отже, найбільше значення функції f(x) на заданому проміжку f(3) = 46, а найменше - f(1) = -6.

7) Це записують наступним чином:

ІІ. Розв’язування вправ.

ІІІ. Самостійна робота.

ІV. Домашнє завдання.

Підручник: Мерзляк А. Г. «Математика»--10 кл. : Х. Гімназія, 2018р.

1.   Опрацювати: §3, п. 24—стор. 128.
2.    Розв’язати:  № 24.1(3); 24.3(3)—стор. 130
3.     Виконати онлайн тест: https://naurok.com.ua/test/naybilshe-i-naymenshe-znachennya-funkci-na-promizhku-141680.html
4.     Результати надсилайте на ел. пошту: riabovagena@gmail.com

Дистанційне навчання. Гр.№ 5,22..Підсумкова. Алгебра.

 Урок алгебри для груп № 5, 22.

Виконати підсумкову контрольну роботу з теми: «Тригонометричні функції. Тригонометричні рівняння».

Онлайн тест: https://naurok.com.ua/test/trigonometrichni-funkci-nayprostishi-trigonometrichni-rivnyannya-284541.html

Результати надсилайте на ел. пошту: riabovagena@gmail.com

Дистанційне навчання. Гр. № 18.

Урок алгебри для гр. № 18.

Тема: Визначений інтеграл. Площа криволінійної трапеції. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

 ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА.

І. Усвідомлення нового матеріалу.

Опрацювати матеріал даного уроку. Зробити конспект у зошиті. 

Дамо одне з означень визначеного інтегралу.

Визначеним інтегралом від неперервної на [а;b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею b називають різницю F(b) - F(a), де F(x) - одна з первісних для функції f(x). Позначають визначений інтеграл так: 

При обчисленні різниці F(b) - F(а) можна брати будь-яку з первісних функцій f(х), що записуються в загальному вигляді F(x) + С. Але прийнято застосовувати ту первісну для якої С = 0.

За наведеним означенням маємо:

Цю формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Зауважимо, що при обчисленні визначених інтегралів зручно різницю  F(b) - F(a)  записують так :

 Застосовуючи це позначення формулу Ньютона-Лейбніца записують ще й у такому вигляді:

Розглянемо приклади знаходження визначених інтегралів.

Приклад 1. Обчисліть інтеграл: 

Розв’язання. Для функції f(х) = sin х однією з первісних є F(х) = -cos х. Маємо за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 2. Обчисліть інтеграл: 

Розв’язання. Спочатку знайдемо первісну для функції f(х) = 2х + 3х² + 1. Використовуючи правила обчислення первісних та таблицю первісних, маємо:

Матимемо:

Зауважимо, що при оформленні цього прикладу знаходження первісної можна було не записувати окремо. Тоді оформлення набуде наступного вигляду:

Приклад 3. Обчисліть інтеграл: 

Розв’язання. Використаємо правило 3 знаходження первісних. Маємо:

Приклад 4.

Обчисліть інтеграл:

Розв’язання.

КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ. ПЛОЩА КРИВОЛІНІЙНОЇ ТРАПЕЦІЇ.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [а;b], прямими:

 x = а, х = b і відрізком [а; b]

Приклад. На якому з рисунків зображено криволінійну трапецію?

Відповідь: 1, 2, 3.

Геометричний зміст визначеного інтеграла:

Про інтеграл можна сказати: інтеграл—це площа криволінійної трапеції. Площа криволінійної трапеції знаходиться за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: f(x) = 9 – x², у=0.

Розв’язання.

Будуємо дані лінії. Одержимо криволінійну трапецію, площу якої обчислимо за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 2.

ІІ. Домашнє завдання:

Підручник:  Істер О.С. «Математика» - підручник для 11 кл. закладів загальної середньої освіти—К. : Генеза, 2019р.

1) Опрацювати § 10—стор.91.

2) Розв’язати: № 10.1; 10.4(3); 10.9(1); 10.11(1)—стор. 96.

3) Виконати онлайн тест: https://naurok.com.ua/test/ploscha-krivoliniyno-trapeci-29313.html

Дистанційне навчання. Гр.№ 1, 5, 22. Підсумкова.

Річна залікова робота з геометрії  для груп № 1, 5, 22.

Тема: "Перпендикулярність прямих та площин у просторі"

Початковий та середній рівні (кожне завдання по 1 балу)

1.    Дві прямі у просторі називаються перпендикулярними, якщо вони…

а) перетинаються під прямим кутом;  б) не перетинаються;

в) перетинаються під кутом 45˚;          г) не паралельні і не перетинаються.

2.   Якщо пряма а перпендикулярна до площини ά і перетинає площину у точці А, а пряма b лежить у площині ά і проходить через точку А, то кут між прямими а і b дорівнює…

а) 45˚;   б) 90^о;  в) 180˚;   г) інша  відповідь.

До задач 3, 5, 6.

3.   Пряма АК проходить через вершину А трикутника АВС і АК丄АВ, АК丄АС. Яке взаємне розташування прямої АК і площини трикутника АВС?

а) пряма паралельна площині трикутника;                            

б) пряма перпендикулярна до площини трикутника; 

в) пряма лежить у площині трикутника;

г) інша відповідь.

4.   Із двох похилих більша та, у якої проекція...

  а) більша;                         в) інша відповідь; 

    б)менша;                            г) однакові                   

5.   Із точки А, що не належить площині ά , проведено перпендикуляр АВ до площини ά. С — точка площини ά. Що є відстанню від точки А до площини ά?

     а) відрізок ВС;       б) відрізок АВ;

     в) відрізок АС;     г) інша відповідь.

6.   На рисунку АВСD — квадрат, ВМ — перпендикуляр до площини квадрата. Довжина якого відрізка є відстанню від точки М до сторони АD?

     а) ВА;      б) МА;       в) МD;      г) інша відповідь 

7. Який кут утворюється при перетині двох перпендикулярних прямих у просторі?

а) 90^о;             б)180°;                   в) 0°;                           г)45°.

8. Скільки спільних точок мають площина і перпендикулярна до неї пряма?

 а) безліч;                     б) жодної;              в) одну;          г) інша відповідь.

До задач 9, 10, 11, 12.

9. Із точки А до площини ά проведено дві похилі АВ і АС та перпендикуляр АО. Якщо АВ = 13 см, АС = 9 см, то... 

     а) ВО<ОС;    б)ВО = ОС;

     в)ВО>ОС;     г) не можна визначити.

10. Якщо КD — перпендикуляр до площини трапеції АВСD, то площини АКD і АВСD...

     а) паралельні;                                  б) перпендикулярні;

       в)перетинаються, але не перпендикулярні;           г) співпадають.

11. Із точки А до площини ά проведено перпендикуляр АО і похилу АВ. АО = 6 см; АВ = 9 см, проекція похилої ОВ = 3√5 см. Відстань від точки А до площини ά дорівнює...

     а) 6 см;           б) 9 см;

     в) 3√5 см;     г) інша відповідь.

12. Відрізок ВМ — перпендикуляр до площини ромба АВСD. О — точка перетину діагоналей. Відстанню від точки М до діагоналі АС є...

     а)МА;       б) МО;

     в) МС;     г) ВО.

13.    АВ丄ά, С — довільна точка площини ά. Який із відрізків називається похилою?

     а) АВ;        б) ВС;    в) АС;

14.    АВ і АС — похилі. ОВ і ОС — проекції цих похилих. Якщо
 АВ < АС, то...

      а) ОВ>ОС;        б) ОВ < ОС;        в) ОВ = ОС.

15.    ВН — висота трикутника АВС, яка перпендикулярна до площини паралелограма АСDК. Яке взаємне розташування площин трикутника і паралелограма?

      а) перпендикулярні;  б) перетинаються, але не перпендикулярні;

     в) паралельні;               г) співпадають.

16.    Скільки пар перпендикулярних площин можна провести через дану пряму?

     а) одну;          б) жодної;

     в) безліч;        г) інша відповідь.

17.    Площини, у яких лежать паралелограм АВСD і трапеція АDМN. перпендикулярні. АD — лінія перетину цих площин. ВК — висота паралелограма. Яке взаємне розташування ВК і площини трапеції?

а) пряма ВК перпендикулярна до площини трапеції;     

 б) пряма ВК перетинає площину трапеції, але не перпендикулярна до неї;

 в) пряма ВК паралельна площині трапеції;

  г) інша відповідь

18.    Точка К не належить площині ά, а точки А і В лежать у площині ά. КА丄ά, КА = 6 см; КВ = 10 см; АВ = 8 см. Відстань від точки К до площини ά дорівнює...

    а) 6 см;       б) 8 см;

     в) 10 см;     г) інша відповідь.

19.  На якому з рисунків зображено перпендикулярні прямі а і b ?

20. Якщо пряма а перпендикулярна до площини ά, то скільки спільних .точок  має ця пряма з площиною?

       а) одну;

       б) безліч;

               в) жодної;

               г) дві.

21. Якщо катет ВС прямокутного трикутника АВС перпендикулярний до площини трапеції АСDЕ, то площини АВС і АСD...

     а) паралельні;

     б) перпендикулярні;

     в) перетинаються, але не перпендикулярні;

     г) інша відповідь.

22. Скільки пар перпендикулярних площин можна провести через задану пряму?

а) одну;

б) безліч;

в) жодної;

г) дві.

23. Точки А, В, С і D лежать у площині ά. Точка К площині ά не належить. 

КС丄ά. КА = 4 см, КВ = 7 см; КС = 2 см; КD = 8 см. Відстань від точки К до площини ά дорівнює...

а) 7 см;

б) 2 см;

в) 4 см;

г) 8 см. 

24. Відрізок МК перпендикулярний до площини прямокутного трикутника АВС (АС = 90°). КN׀׀АС. Відстанню від точки М до прямої ВС є відрізок...

а)  МВ;          

б) MN;

в)  МС;         

г)  NK.  

Достатній рівень.  (кожне завдання по 2 бали)

1.      Із точки М, яка лежить поза площиною ά, проведено до площини перпендикуляр МD, що дорівнює 12 см і похилу МС, яка на 8 см більша від своєї проекції. Знайти довжину похилої.

2.      Через вершину В квадрата АВСD зі стороною 8 см проведено перпендикуляр ВК завдовжки 7 см до площини квадрата. Знайти відстань від точки К до діагоналей квадрата.

3.      Точка, рівновіддалена від усіх вершин прямокутника, знаходиться на відстані 6 см від його площини. Визначити відстань від цієї точки до вершин прямокутника, якщо менша сторона прямокутника дорівнює 8 см, а діагональ утворює з більшою стороною кут 30°.

Високий рівень. (кожне завдання  по 3 бали)

1. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС = 6 см і бічною стороною АВ = 5 см до площини трикутника в центрі О вписаного кола, побудовано перпендикуляр ОМ = 2 см. Із точки М проведено перпендикуляр МD до основи трикутника. Знайти довжину цього перпендикуляра.

Відповіді та розв’язання надсилати на Viber або ел. пошту: riabovagena@gmail.com