Урок алгебри для
гр. № 1, 26.
ТЕМА: ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ
ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
Мета: домогтися
засвоєння схеми дослідження функцій на зростання, спадання та на екстремум;
сформувати вміння застосовувати похідну до дослідження функцій, побудови її
графіка.
Хід
уроку
І. Актуалізація знань.
1. Математичний
диктант.
Дано функцію: у = - х3 + 12х + 5.
1. Знайти
похідну функції.
2. Знайти
стаціонарні (критичні) точки.
3. Знайти
проміжки зростання та спадання функції.
4. Знайти точки
екстремумів: хтіп
, хтах .
5. Знайти екстремальні значення
функції : утіп, утах.
2. Взаємоперевірка за
зразком:
ІІ. Вивчення нового матеріалу.
Сьогоднішній матеріал є систематизацією та
узагальненням вивченого раніше. Користуємося
тими ж теоремами та ознаками, що й при дослідженні функції на екстремуми та
монотонність (зростання, спадання функції). Дослідження функції слід проводити
за наступною схемою.
Схема
дослідження функції у = f(х) для побудови її графіка:
1)
Знаходимо область визначення функції у = f(x).
2)
Досліджуємо функцію на парність, непарність та періодичність (для
тригонометричних функцій).
3)
Знаходимо точки перетину функції у = f(x) з осями координат (якщо їх
можна знайти).
4)
Знаходимо похідну f '(x) та критичні точки.
5)
Знаходимо проміжки зростання, спадання, точки екстремуму, екстремуми функцій.
6)
Досліджуємо поведінку функції на кінцях проміжків області визначення (якщо
можна дослідити).
7)
Використовуючи отримані результати, будуємо графік функції або його ескіз.
ІІІ. Розв’язування
вправ. Зразок.
Приклад
1. Дослідити функцію та побудувати її графік.
Розв’язання.
1) Область визначення: D(f) = R.
2) Функція парна, її графік симетричний
відносно осі ординат.
3) Точки
перетину з віссю Ох:
(розв’яжіть
рівняння самостійно). Отже: х1= -2; х2= 2.
Точки перетину з віссю Оу: х= 0; у= -4.
Отже,
маємо точки перетину з осями координат: (0;-4), (2;0), (-2;0).
4) Знаходимо похідну функції та критичні точки (це
точки, в яких похідна дорівнює нулю, або не існує). Знаходимо похідну функції:
;
Звідси: х= 0 або: х= ±1. Отже:
х1 =
0; х2= 1; х3 =
-1.
5) Знаходимо
проміжки зростання, спадання та екстремуми функції:
-1 0 1 х
(-∞;-1)—спадає; (-1; 0)—зростає; (0; 1)—спадає; (1;+∞)—зростає.
Екстремуми: хmin= -1 і хmin= 1; хmax= 0.
Складаємо
таблицю у якій позначаємо проміжки зростання, проміжки спадання та критичні
точки:
В
таблиці наведено також висновки про критичні точки (чи є вони точками максимуму
чи точками мінімуму).
6) Оскільки D(f) = R, то немає
кінців області визначення.
7)
Будуємо графік функції використовуючи результати дослідження :
Приклад 2.
Дослідити функцію та побудувати її графік:
у = х3 − 3х2 .
Розв’язання.
1)
D(у) = R—область
визначення функції.
2)
у(х) = х3
− 3х2
у(− х) = (− х)3 − 3(− х)2
= − х3 − 3х2
у(− х)≠ − у(х) і у(− х)
≠ у(х), то функція не є ні парною, ні непарною.
Функція
неперіодична.
3) Знаходимо
точки перетину графіка функції
з віссю ОХ:
х3 − 3х2 = 0 з віссю ОУ: y = 03 − 3 ∙ 02 = 0
х2 (х −3) =
0 у
= 0
х1 = 0; х2 = 3
4) Знаходимо похідну та критичні точки: уʹ = 3х2 − 6х
3х2
− 6х = 0
3х(х − 2) = 0
х = 0, х
= 2 – стаціонарні (критичні) точки
5) Знаходимо
проміжки зростання, спадання функції:
уʹ(3) = 3 ∙ 32 − 6 ∙ 3 = 9 > 0
уʹ(1) = 3 ∙ 12 − 6 ∙ 1 = −3 < 0
уʹ(−1) = 3 ∙ (−1)2 − 6 ∙ (−1) = 9 > 0
у(0)
= 03 − 3 ∙ 02 = 0
у(2)
= 23 − 3 ∙ 22 = −4
6) Оскільки D(f)
= R, то немає кінців області визначення.
7) Будуємо графік:
ІV.
Домашнє завдання.
Мерзляк А. Г. «Математика» -підручник для 10 кл. закладів загальної
середньої освіти—Х. : Гімназія, 2018р.
1)
Опрацювати:
§3, п. 25—стор.131.
2)
Розв’язати:
№ 25.1(4); 25.2(1)—стор. 133.
