Дистанційне навчання. Гр.№ 1,26.

Тема уроку № 8: Зростання і спадання функції. Гр. № 1, 26.

Мета уроку: Познайомити учнів з правилами знаходження проміжків зростання (спадання) функції.

Хід уроку.

І. Сприймання і усвідомлення ознаки спадання та зростання функції на деякому проміжку.

За допомогою похідної можна встановлювати проміжки зростання і спадання функції.

Відомо, що функція y = f(x) називається зростаючою на деякому проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать проміжку, із умови х₂ >  х₁ випливає, що f(x₂) > f(x₁).

Дотична в кожній точці графіка зростаючої функції, як видно з рис. 32, утворює з додатним напрямом осі ОХ або гострий кут, або кут, що дорівнює нулю (в останньому випадку дотична паралельна осі ОХ).

Виходячи із геометричного змісту похідної: tg α = f’(x_o), це означає, що похідна в кожній точці проміжку невід’ємна, тому для зростаючої функції f(x) виконується умова:

Функція y = f(x) називається спадною на проміжку, якщо для будь-яких х₁ і х₂, що належать цьому проміжку, із умови х₂ >  х₁ випливає, що    f(x₂) < f(x₁). Дотична в кожній точці графіка спадної  функції (рис. 33) утворює з віссю ОХ або тупий кут,

або кут, що дорів­нює нулю, тому для функції f(x), яка спадає на деякому проміжку, вико­нується умова f'(x) < О.

На рис. 34 видно також, що одна і та ж функція може на одному про­міжку області її визначення зростати, а на іншому — спадати. Характер по­ведінки функції на кожному із цих проміжків визначається знаком її по­хідної.

Отже, наочне уявлення дозволяє сформулювати властивості зроста­ючих та спадних функцій.

Якщо функція у = f(x) диферен­ційована і зростає на деякому про­міжку, то її похідна на цьому про­міжку не від'ємна.

Якщо функція у = f(x) диференційована і спадає на деякому проміжку, то її похідна на цьому проміжку не додатна.

Проте для розв'язування задач особливо важливими є обернені твердження, які ви­ражають ознаки зростання і спадання функ­ції на проміжку. Нехай значення похідної функції у = f(x) додатні на деякому про­міжку, тобто f'(x) > 0. Оскільки f'(x) = tg α, то із умови tg α > 0 випливає, що дотичні, проведені до графіка функції в будь-якій точці цього інтервалу, утворюють гострі кути з додатним напря­мом осі ОХ. У цьому випадку графік функції «піднімається» на заданому проміжку, тобто функція зростає (рис. 35).

Якщо f'(x) < 0 на деякому проміжку, то кутовий коефіцієнт дотичної tg α = f(x) до графіка функції у = f(x) від'ємний. Це означає, що дотична до графіка функції утворює з віссю ОХ ту­пий кут і графік функції на цьому проміжку «опускається», тоб­то функція f(x) спадає (рис. 36).

1.     Якщо f'(x) > 0 на проміжку, то функція f(x) зростає на цьому проміжку.

2.     Якщо f(x) < 0 на проміжку, то функція f(x) спадає на цьому проміжку.

Ці два твердження називаються ознака­ми зростання (спадання) функції на про­міжку.

Проміжки зростання і спадання функції часто називають про­міжками монотонності цієї функції.

Приклад 1. Доведіть, що функція f(x) = х +1/х зростає на проміж­ку (1; +

).

Розв'язання

Знайдемо похідну: .

Якщо х > 1, то  тобто f'(x) > 0 при х > 1, і тому функція зростає на проміжку (1; +).

Знаходження проміжків зростання та спадання функції можна виконувати за таким планом:

1. Знайти область визначення заданої функції у = f(x).

2. Знайти похідну f'(x).

3. Розв'язати нерівності:

а) f'(x) > 0, указати проміжки зростання функції у = f(x);

б) f'(x) < 0, указати проміжки спадання функції у = f(x)·

Приклад. Знайдіть проміжки монотонності функції у = х³ - 3х².

Розв'язання

1. Область визначення функції: D(y) = R.

2. Знаходимо похідну у' = 3х² - 6х.

3. Розв'язуємо нерівності: а) у' > 0; б) у' < 0. Розв'язуємо ці не­рівності методом інтервалів, для цього знаходимо нулі по­хідної: 3х² - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0, х = 0 або х = 2. Наносимо на координатну пряму (рис. 37) нулі похідної і ви­значаємо знаки похідної на кожному проміжку:

y'(-1) = 3 · (-1)² - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;

y'(1) = 3 · І² – 6 - 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 · 3² – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0.

а) у' > 0 в кожному із проміжків (-; 0); (2; +), отже, функція на цих  проміжках зростає.

б) у' < 0 на проміжку (0; 2), отже, функція на цьому проміжку спадає.

Відповідь: функція зростає на кожному із проміжків (-;0);(2;+); спадає на проміжку (0; 2).

II. Формування умінь учнів знаходити проміжки монотонності функції.

Виконання вправ: №22.1(3,4) ;

                                  22.2(1,2)—стор 122.

                          

IІІ. Підведення підсумків уроку.

ІV. Домашнє завдання.

Підручник: Мерзляк А. Г. «Математика»--10 кл. : Х. Гімназія, 2018р.

§ 3.п.22—стор. 120. Вправи № 22.3(1); 22.4(1)—стор. 122. Опрацювати матеріал та виконати завдання в зошиті.