Урок алгебри для
гр. № 1, 26.
Тема уроку № 9: Екстремальні
точки. Локальний екстремум функції.
Мета уроку: Познайомити
учнів з правилами знаходження екстремумів функції.
І. Перевірка домашнього завдання.
II. Сприймання і усвідомлення поняття точок екстремуму та екстремуму
функції.
При дослідженні поведінки функції в деякій точці
зручно користуватися поняттям околу. Околом точки а називається
будь-який інтервал, що містить цю точку. Наприклад, інтервали (2; 5), (2,5;
3,5), (2,9; 3,1) – околи точки 3.
Розглянемо графік функції, зображений на рис. 38. Як
видно із рисунка, існує такий окіл точки x = а, що
найбільше значення функція у = f(x) в
цьому околі набуває в точці х = а. Точку х = а називають
точкою максимуму цієї функції.
Аналогічно точку х = b називають
точкою мінімуму функції y = f(x), оскільки значення
функції в цій точці найменше порівняно зі значеннями функції в деякому околі
точки b.
Означення. Точка а із
області визначення функції f(x) називається
точкою максимуму цієї функції, якщо
існує такий окіл точки а, що для всіх х а із цього околу виконується нерівність f(x) < f(a). (Рис.
39).
Означення. Точка b із області
визначення функції f(x) називається
точкою мінімуму цієї функції, якщо
існує такий окіл точки b, що для
всіх х # b із цього околу виконується нерівність f(x) < f(b). (Рис.
40).
Точки максимуму і точки мінімуму називають точками
екстремуму функції, а значення функції в цих точках називають екстремумами
функції (максимум і мінімум функції).
Точки максимуму позначають хmax , а
точки мінімуму — хmin . Значення
функції в цих точках, тобто максимуми і мінімуми функції, позначаються
відповідно: уmax і уmin.
Виконання вправ
1. Для функцій, графіки яких зображено на рисунках 41, α—г знайдіть:
1) точки максимуму і мінімуму функції;
2) екстремуми функції.
Відповідь: 1) а) хmax= 3, xmin= 0, хmax= 3; б)
хmax= – 8, xmin= –
6; хmax= –
3; xmin =
1; хmax=
5; в) xmin=
–1; хmax=
1; г) xmin= –2; хmax= –1; xmin=
0; хmax=
1; xmin=
2;
2) a) ymax= 4; ymin=0; б) ymax= 5; ymax= 7; ymin=
0; в) ymin= –1; ymax=
1;
г) ymin =
–3; ymin=
0; ymax=
2.
III. Сприймання і усвідомлення необхідної умови
екстремуму, поняття стаціонарної точки.
Розглянемо функцію у = f(x), яка визначена в деякому околі точки xo і
має похідну в цій точці.
Якщо х0 — точка
екстремуму диференційованої функції у = f(x), то f’(хo) = 0.
Це твердження називають теоремою Ферма на честь П'єра
Ферма (1601—1665) — французького математика.
Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: в точці
екстремуму дотична паралельна осі абсцис, і тому її кутовий коефіцієнт f’(хo) дорівнює
нулю (рис. 42).
Наприклад, функція f(x) =
х2 – 2 має в точці хo = 0
мінімум (рис. 43), її похідна f'(0)
= 0. Функція f(x) = 1
- х2 (рис. 44) має максимум у
точці хo =0, f(x)= – 2х і f’(0) =
0.
Слід
зазначити, що якщо f’(хo) = 0, то хo не
обов'язково є точкою екстремуму.
Наприклад, якщо f(x) = х3, то f`(x) = 3x2 і f`(хo) = 0.
Проте точка х = 0 не є точкою екстремуму, оскільки
функція f(x) = x3 зростає
на всій числовій осі
(рис. 45).
Отже, точки екстремуму диференційованої функції треба
шукати тільки серед коренів рівняння f’(x) = 0,
але не завжди корінь рівняння f’(x) =
0 є точкою екстремуму.
Внутрішні точки області визначення функції у
= f(x), у яких похідна дорівнює нулю, називають стаціонарними
(або критичними). Отже, для того щоб точка хo була точкою
екстремуму, необхідно, щоб вона була стаціонарною.
Виконання вправ
1. Знайдіть стаціонарні точки функції:
а) у = 5 + 12х - х3;
б) у = 9 + 8x2 - x4; в) у
= e2x - 2ex·,
г) у = sin х
- cos х.
Відповідь: а) х =
±2; б) х = 0, х = ±2;
в) х = 0; г) х = -π/4+2πn, n Є Ζ.
IV.
Сприймання і усвідомлення достатньої ознаки екстремуму функції.
Сформулюємо достатні умови того, що стаціонарна
(критична) точка є точкою екстремуму, тобто умови, при виконанні яких
стаціонарна (критична) точка є точкою
максимуму або мінімуму функції.
Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки додатна, а
праворуч — від'ємна, тобто при переході через цю точку похідна змінює знак з
«+» на «–», то ця стаціонарна точка є точкою максимуму (рис. 46).
Дійсно, в цьому випадку ліворуч стаціонарної точки
функція зростає, а праворуч — спадає, отже, дана точка є точка максимуму.
Якщо похідна ліворуч стаціонарної точки від'ємна, а
праворуч — додатна, тобто при переході через стаціонарну точку похідна змінює
знак з «–» на «+», то ця стаціонарна точка є точка мінімуму (рис. 47).
Якщо при переході через стаціонарну точку похідна не
змінює знак, тобто ліворуч і праворуч від стаціонарної точки похідна додатна
або від'ємна, то ця точка не є точкою екстремуму.
Приклад 1.Знайдіть
точки екстремуму функції f(x) = х3 – 3х.
Розв'язання
Область визначення даної функції — R.
Знайдемо f`(x): f`(x) = (x3 - 3x)' =3х2-
3.
Похідна існує для всіх x є R.
Знайдемо стаціонарні точки: f(x) = 0, 3х2 -
3 = 0, х2 — 1
= 0, x =
±1.
Наносимо область визначення та стаціонарні точки на
координатну пряму (рис. 48) і
визначимо знак похідної на кожному проміжку:
f`(-2) = 3 · (-2)2 - 3 = 9 > 0;
f`(0) =
3 · (0)2 - 3 = -3 < 0;
f`(2) = 3
· (2)2 - 3 = 9 > 0.
Точка х= -1 є точкою максимуму, бо
похідна при переході через цю точку змінює знак з «+» на «-»: хmax = -1.
Точка х = 1 — є точкою мінімуму, бо
похідна при переході через цю точку змінює знак з «-» на «+»: хmin = 1.
Відповідь: хmax= -1, хmin= 1.
Приклад
2. Знайдіть екстремуми функції f(x) = х4 -
4х3.
Розв'язання
Область визначення функції — R.
Знайдемо похідну:
f`(x)= (x4 – 4х3) = 4x3 –
12х2 = 4x2(х –
3).
Знайдемо стаціонарні (критичні) точки: f`(x) = 0, 4x2(x – 3)
= 0, x =
0 або х = 3.
Наносимо стаціонарні точки на координатну пряму (рис.
49) та визначаємо знак похідної на кожному інтервалі.
x =
3 — точка мінімуму, бо при переході через цю точку
похідна змінює знак з «–» на «+»: хmin= 3.
Точка x = 0
не є точкою екстремуму, бо похідна не змінює знак при переході через цю точку.
Отже, уmin = f(3) = 34 – 4 · 33 = –
27.
Відповідь: уmin = f(3) = – 27.
V. Домашнє завдання.
Підручник: Мерзляк А.
Г. «Математика»--10 кл. : Х. Гімназія, 2018р.
1. Опрацювати
та записати конспект цього уроку в зошит.
2. § 3.п.23—стор.
123. Вправи № 23.3(4); 23.4(3)—стор. 127. Опрацювати матеріал та виконати
завдання в зошиті.
Комментариев нет:
Отправить комментарий