Дистанційне навчання. Гр. № 18.

Урок алгебри для гр. № 18.

Тема: Визначений інтеграл. Площа криволінійної трапеції. Геометричний зміст визначеного інтеграла.

 ВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА-ЛЕЙБНІЦА.

І. Усвідомлення нового матеріалу.

Опрацювати матеріал даного уроку. Зробити конспект у зошиті. 

Дамо одне з означень визначеного інтегралу.

Визначеним інтегралом від неперервної на [а;b] функції f(x) з нижньою межею а і верхньою межею b називають різницю F(b) - F(a), де F(x) - одна з первісних для функції f(x). Позначають визначений інтеграл так: 

При обчисленні різниці F(b) - F(а) можна брати будь-яку з первісних функцій f(х), що записуються в загальному вигляді F(x) + С. Але прийнято застосовувати ту первісну для якої С = 0.

За наведеним означенням маємо:

Цю формулу називають формулою Ньютона-Лейбніца.

Зауважимо, що при обчисленні визначених інтегралів зручно різницю  F(b) - F(a)  записують так :

 Застосовуючи це позначення формулу Ньютона-Лейбніца записують ще й у такому вигляді:

Розглянемо приклади знаходження визначених інтегралів.

Приклад 1. Обчисліть інтеграл: 

Розв’язання. Для функції f(х) = sin х однією з первісних є F(х) = -cos х. Маємо за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 2. Обчисліть інтеграл: 

Розв’язання. Спочатку знайдемо первісну для функції f(х) = 2х + 3х² + 1. Використовуючи правила обчислення первісних та таблицю первісних, маємо:

Матимемо:

Зауважимо, що при оформленні цього прикладу знаходження первісної можна було не записувати окремо. Тоді оформлення набуде наступного вигляду:

Приклад 3. Обчисліть інтеграл: 

Розв’язання. Використаємо правило 3 знаходження первісних. Маємо:

Приклад 4.

Обчисліть інтеграл:

Розв’язання.

КРИВОЛІНІЙНА ТРАПЕЦІЯ. ПЛОЩА КРИВОЛІНІЙНОЇ ТРАПЕЦІЇ.

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графіком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [а;b], прямими:

 x = а, х = b і відрізком [а; b]

Приклад. На якому з рисунків зображено криволінійну трапецію?

Відповідь: 1, 2, 3.

Геометричний зміст визначеного інтеграла:

Про інтеграл можна сказати: інтеграл—це площа криволінійної трапеції. Площа криволінійної трапеції знаходиться за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 1. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: f(x) = 9 – x², у=0.

Розв’язання.

Будуємо дані лінії. Одержимо криволінійну трапецію, площу якої обчислимо за формулою Ньютона-Лейбніца:

Приклад 2.

ІІ. Домашнє завдання:

Підручник:  Істер О.С. «Математика» - підручник для 11 кл. закладів загальної середньої освіти—К. : Генеза, 2019р.

1) Опрацювати § 10—стор.91.

2) Розв’язати: № 10.1; 10.4(3); 10.9(1); 10.11(1)—стор. 96.

3) Виконати онлайн тест: https://naurok.com.ua/test/ploscha-krivoliniyno-trapeci-29313.html